La congettura di Poincaré è una delle ipotesi più importanti in matematica moderna, e attualmente è stata dimostrata in modo adeguato al punto che si ritiene un teorema completo. Si tratta di uno dei sette Millenium Prize Problems, ha affermato dal Clay Mathematics Institute nel 2000. Fino ad oggi, è il solo dei problemi del millennio Premio di essere stato risolto, e la sua soluzione è stata considerata come una delle scoperte più importanti del nuovo millennio.

Nei primi anni 20, un matematico francese , Henri Poincaré, che ha iniziato cosa sarebbe servita come base per il campo matematico della topologia. Uno dei suoi principali si concentra sulle proprietà era di sfere, e ha trascorso una grande attenzione ed energie su delinea la sfera. Ha suscitato un certo numero di domande, ma la più famosa era formulata come: "Consideriamo una compatta a 3 dimensioni molteplici V senza confine. È possibile che il gruppo fondamentale di V potrebbe essere banale, anche se V non è omeomorfo alla sfera 3-dimensionale? "Anche se non ha mai fatto una dichiarazione di cemento in un modo o nell'altro, questo avrebbe dovuto essere noto come il Poincaré congetture.

La forma più comune della congettura di Poincaré è semplicemente: Ogni semplicemente connesso, ha chiuso 3-varietà è omeomorfo al 3-sfera. La congettura di Poincaré è stato generalizzato a tre dimensioni di cui sopra, nella forma n-sfera. Anche se inizialmente si pensava che la congettura di Poincaré si sarebbe vero, si pensava che la congettura di Poincaré generalizzata rivelarsi false. Si è quindi una sorpresa quando il Generalized Congettura di Poincaré è stato dimostrato per le dimensioni superiori a quattro nel 1961, e poi nel 1982 quando la 4-sfera caso ha dimostrato di essere veri.

Nel 1982 Richard Hamilton ha dimostrato che la congettura di Poincaré era vero in un certo numero di casi molto particolari, ma non era in grado di dimostrarlo, più in generale. Nel 2000 il Clay Mathematics Institute inclusa la congettura di Poincaré, nella sua Millenium Prize Problems, offrendo un premio di $ 1000000 US Dollar (USD) per una soluzione dimostrato in modo soddisfacente. Nel 2002 e nel 2003 il matematico Grigori Perelman ha pubblicato due documenti di quella prevista in un disegno per una dimostrazione della congettura di Poincaré.

Nel 2006 un certo numero di gruppi di lavoro nelle piccole lacune riempite accessorie nel lavoro di Perelman, e John Morgan e Gang Tian scritto come una prova dettagliata. Finirono per esteso questo in un libro sulla congettura di Poincaré, e nel 2006 Morgan ha dichiarato che Perelman ha risolto il problema nel 2003. Per il suo lavoro, Perelman è stato di aggiudicazione la Medaglia Fields, ma lui rifiutò. Anche se tecnicamente risolto il Premio Millennium così, ed è quindi idoneo a ricevere $ 1 milioni di dollari, non ha intrapreso i passi necessari a reclamare il premio.

la soluzione della congettura di Poincaré L' è stato visto come una grande innovazione nel campo della matematica, e una delle prove più importanti del nuovo millennio. Alla fine del 2006, la rivista Science chiamato la soluzione della congettura di Poincaré come la scoperta scientifica dell'anno. Questa è stata la prima volta che l'onore era mai stato conferito un importante passo avanti nel campo della matematica pura.